Во имя Аллаха милостивого, милосердного. Хвала Аллаху, господину миров, и благословение всем его пророкам.
Один из поучительных вопросов, необходимый в разделе философии, называемом математикой2, это искусство алгебры и алмукабалы, имеющее своей целью определение неизвестных, как числовых, так и измеримых3. В нем встречается необходимость в некоторых очень сложных видах предложений, в решении которых потерпело неудачу большинство этим занимавшихся. Что касается древних, то до нас не дошло сочинение, в котором они рассматривали бы этот вопрос: может быть, они искали решение и изучали этот вопрос, но не смогли преодолеть трудностей, или их исследования не требовали рассмотрения этого вопроса, или, наконец, их труды по этому вопросу не были переведены на наш язык4. Что касается позднейших, то среди них ал-Махани5 предложил проанализировать предпосылку, принятую Архимедом6 в четвертом предложении второй книги его "Книги о шаре и цилиндре" 7, при помощи алгебры8. Он пришел к уравнению, содержащему кубы, квадраты и числа, которое ему не удалось решить, несмотря на то что он долго размышлял о нем. Поэтому считалось, что это решение невозможно, пока не явился A6у Джафар ал-Хазин9, решивший это уравнение при помощи конических сечений10. После него некоторые из этих видов были нужны многим геометрам, и один геометр решал один из этих видов, а другой - другой. Но никто из них не говорил ничего ни о перечислении этих видов, ни об изложении случаев каждого вида, ни об их доказательствах, за исключением двух видов, которые я укажу.
Я же, напротив, всегда горячо стремился к тому, чтобы исследовать все эти виды и различить среди этих видов возможные и невозможные случаи, основываясь на доказательствах, так как я знал, насколько настоятельна необходимость в них в трудностях задач. Но я был лишен возможности систематически заниматься этим делом и даже не мог сосредоточиться на размышлении о нем из-за мешавших мне превратностей судьбы. Мы были свидетелями гибели ученых, от которых осталась малочисленная, но многострадальная кучка людей. Суровости судьбы в эти времена препятствуют им всецело отдаться совершенствованию и углублению своей науки. Большая часть из тех, кто в настоящее время имеет вид ученых, одевают истину ложью, не выходя в науке за пределы подделки и притворяясь знающими. Тот запас знаний, которым они обладают, они используют лишь для низменных плотских целей. И если они встречают человека, отличающегося тем, что он ищет истину и любит правду, старается отвергнуть ложь и лицемерие и отказаться от хвастовства и обмана, они делают его предметом своего презрения и насмешек11. Аллах помогает нам во всех случаях, он наше прибежище.
Поскольку всевышний Аллах даровал мне благо, я хочу посвятить себя его сиятельству [нашему славному и несравненному господину, судье судей имаму господину Абу-Тахиру12, да продолжит Аллах его возвышение и повергнет тех, кто питает против него зависть и вражду]13. Я отчаялся увидеть столь совершенного во всех практических и теоретических качествах человека, сочетающего в себе и проницательность в науках и твердость в действиях и усилиях делать добро всем людям. Его присутствие расширило мою грудь, его общество возвысило мою славу, мое дело выросло от его света и моя спина укрепилась от его щедрот и благодеяний. Благодаря моему приближению к его высокой резиденции я почувствовал себя обязанным восполнить то, что я потерял из-за превратностей судьбы, и кратко изложить то, что я изучил до мозга костей из философских вопросов. И я начал с перечисления этих видов алгебраических предложений, так как математические науки более всего заслуживают предпочтения. Я ухватился за веревку помощи всевышнего Аллаха, надеясь, что он дарует мне успех в доведении до конца размышлений как по этому вопросу, так и по вопросу, которым занимались передо мной в науках более важных, чем другие. Я опираюсь на его прочную поддержку, потому что он господин исполнения молитв и к нему нужно прибегать [во всех случаях].
Я утверждаю, что искусство алгебры и алмукабалы есть научное искусство, предмет которого составляют абсолютное число и измеримые величины14, являющиеся неизвестными, но отнесенные к какой-нибудь известной вещи, по которой их можно определить. Эта вещь есть или количество или отношение, не связанное ни с чем другим. В это ты должен глубоко вникнуть. Цель этого искусства состоит в нахождении соотношений, связывающих его предмет с указанными данными. Совершенство этого искусства состоит в знании методов изучения, посредством которых можно постигнуть способ определения упомянутых неизвестных, как числовых, так и геометрических.
Величин, т.е. непрерывных количеств, имеется четыре вида: линия, поверхность, тело и время, как это изложено кратко в "Категориях"15 и подробно в "Первой философии"16. Некоторые рассматривают место как подразделение поверхности, подчиненное роду непрерывного [количества], но исследование опровергает это мнение и подтверждает, что место есть поверхность в некотором положении и обстоятельствах, определение которых - вне нашего предмета17. Время не принято считать предметом алгебраических задач, но если бы это было сделано, это было бы допустимо.
Обычно алгебраисты18 называют неизвестную, которую хотят определить, вещью19, ее произведение на себя - квадратом20, произведение ее квадрата на нее - кубом21, произведение ее квадрата на себя - квадрато-квадратом22, произведение ее куба на ее квадрат - квадрато-кубом23, произведение ее куба на себя - кубо-кубом24 и так далее сколько угодно25. Из книги Евклида26 "Начала"27 известно, что все эти степени пропорциональны, т.е. единица относится к корню, как корень к квадрату и как квадрат к кубу28; следовательно, число относится к корням, как корни к квадратам, как квадрат к кубам [и как кубы] к квадрато-квадратам и так далее сколько угодно.
Следует знать, что этот трактат может быть понят только теми, кто хорошо знает книги Евклида "Начала" и "Данные"29, так же как две книги сочинения Аполлония30 "Конические сечения"31. Тот, для кого один из этих путей к знанию закрыт, не сможет проложить путь к его изучению. Мне с трудом удалось ограничиться в этом трактате ссылками только на три названные мной сочинения.
Алгебраические решения производятся при помощи уравнения, т.е., как это хорошо известно, приравнения одних степеней другим. Если алгебраист пользуется квадрато-квадратом в вопросах измерения, то это следует понимать метафорически, а не в прямом смысле, так как нелепо, чтобы квадрато-квадрат принадлежал к числу величин. К величинам относится прежде За всего одно измерение, т.е. корень или сторона по отношению к своему квадрату. Затем два измерения, т.е. плоская фигура32; квадрат также относится к величинам, так как является плоской фигурой, [имеющей форму] квадрата. И, наконец, три измерения, т.е. тело; куб также относится к величинам, так как он является телом, ограниченным шестью квадратами. Так как других измерений нет, к величинам не могут относиться ни квадрато-квадрат, ни, тем более, высшие степени33. Если же говорят, что квадрато-квадрат относится к величинам, то это говорится о том, что измеримы некоторые его части, а не о том, что он сам измерим, - между этими двумя вещами - большая разница34. Квадрато-квадрат не относится к величинам ни по своей сущности, ни по акциденции35, как, например, четное и нечетное, относящиеся к величинам по акциденции в соответствии с числом, разрывающим непрерывность величин четным или нечетным образом.
В сочинениях алгебраистов из уравнений, содержащих эти четыре геометрических количества, т.е. абсолютные числа, стороны, квадраты и кубы, приводятся три уравнения, содержащие числа, стороны и квадраты36. Мы же предложим методы определения неизвестной в уравнении, содержащем все четыре степени, о которых мы сказали, что только они относятся к измеримым количествам, а именно: число, вещь, квадрат и куб37.
То, что можно доказать при помощи свойств круга38, т.е. книг Евклида "Начала" и "Данные", доказывается чрезвычайно просто. То, что можно доказать только при помощи конических сечений, доказывается, как в двух книгах "Конических сечений". Доказательство этих видов в том случае, когда предмет задачи есть абсолютное число, невозможно ни для нас, ни для кого из тех, кто владеет этим искусством39. Может быть, кто-нибудь из тех, кто придет после нас, узнает это для случая, когда имеется не только три первых степени, а именно число, вещь и квадрат. Для того, что доказывается при помощи сочинений Евклида, я укажу и числовое доказательство. И знай, что доказательство геометрическим способом отделяется от числового доказательства, когда предметом задачи является число, а не измеримая величина. Ты ведь знаешь, что Евклид, доказав в пятой (книге) своего сочинения некоторые предложения о пропорциональности величин, затем доказывает те же самые предложения о пропорциональности в седьмой [книге], когда их предметом является число40.
Уравнения, содержащие эти четыре степени, бывают либо простые, либо сложные. Простых уравнений имеется шесть видов:
Три из этих видов упоминаются в сочинениях алгебраистов42. Они говорят: вещь относится к квадрату, как квадрат к кубу, отсюда необходимо следует, что уравнение, содержащее квадрат и куб, равносильно уравнению, содержащему вещь и квадрат43. Точно так же число относится к квадрату, как корень к кубу, но они не доказали этого геометрически. Если число равно кубу, то в случае числовой задачи его ребро может быть найдено только посредством последовательного подбора44, а в случае геометрической задачи - только при помощи конических сечений45.
Сложные уравнения бывают тройные и четверные. Видов тройных уравнений двенадцать, [три] первые из которых суть:
Эти три вида упоминаются в сочинениях алгебраистов и доказываются там геометрическим, а не числовым способом47.
Вторые три вида суть:
Алгебраисты говорят, что три вторых вида пропорциональны трем первым, каждый - своему соответственному, т.е. уравнение: куб и корни равны квадратам - равносильно уравнению: квадрат и число равны корням49, - и также по отношению к двум другим. Но они не доказали этого, когда предметы задач суть измеримые количества. Для случая, когда предмет задач есть число, это ясно из трактата "Начала". Я же докажу это и в геометрическом случае.
Остальные шесть видов из двенадцати суть:
Ни один из этих видов не имеется в сочинениях алгебраистов, за исключением отдельного исследования одного из них51. Я же их исследую и докажу геометрическим способом, но не числовым. Доказательство этих шести видов возможно только при помощи свойств конических сечений.
Что касается сложных четверных уравнений, то их имеется две разновидности: во-первых, те, в которых три степени равны одной степени. Это четыре вида:
Вторая разновидность содержит те [виды], в которых две степени равны двум степеням. Этих видов три:
Таковы 7 четверных видов. У нас нет другого способа для их исследования, кроме геометрического. Частный случай одного из [этих видов], который я укажу, был нужен одному из наших предшественников54. Доказательство этих видов может быть произведено только при помощи свойств конических сечений.
Теперь рассмотрим один за другим все эти двадцать пять видов и, если пожелает Аллах, докажем их.
Первый простой вид: корень равен числу. Здесь корень известен поневоле, что одинаково и для числа и для величин.
Второй вид: число равно квадрату. Здесь известен числовой квадрат, равный известному числу. Его корень может быть найден числовым способом только посредством последовательного подбора, а не по закону искусства. Мы не будем по этому вопросу обращать внимание на то, что говорят те из мужей этого искусства, которые держатся другого мнения. У индийцев имеются методы нахождения сторон квадратов и ребер кубов, основанные на небольшом последователь ном подборе и на знании квадратов девяти цифр, т.е. квадрата одного, двух, трех и т.д., а также произведений одной из них на другую, т.е. произведения двух на три [и т.д.]55. Нам принадлежит трактат о доказательстве правильности этих методов и того, что они действительно приводят к цели. Кроме того, мы увеличили число видов, т.е. мы показали, как определять основания квадрато-квадратов, квад-рато-кубов, кубо-кубов и так далее сколько угодно, чего раньше не было56. Доказательства, которые я даю по этому вопросу, - числовые доказательства, основанные на числовых книгах "Стихий"57.
Геометрическое доказательство второго вида следующее: предположим, что линия АВ дана и равна данному числу и что АС равна единице и перпендикулярна АВ. Дополним плоскую фигуру AD58. Известно, что мера плоской фигуры AD есть данное число. Построим квадрат, равный фигуре AD, как показал Евклид в 14-м предложении книги II своего сочинения59; пусть это будет квадрат Е. Квадрат Е будет, таким образом, равен данному числу и будет известен, и его сторона также будет известна. Обрати внимание на доказательство, которое дал Евклид. Это и есть искомое.
Всякий раз, когда в этом трактате мы будем говорить: число равно плоской фигуре, мы будем понимать под числом прямоугольную фигуру, одна из сторон которой есть единица, а другая - линия, мера которой равна данному числу, так что каждая доля этой меры равна второй стороне, т.е. той, которую мы приняли за единицу60.
Третий вид: число равно кубу. Если предмет задачи - число - будет известен куб этого числа. Нет другого средства "найти его ребро, кроме последовательного подбора. Это относится и ко всем числовым степеням, как квадрато-квадрат, квадрато-куб, кубо-куб, о чем мы говорили выше.
В геометрическом доказательстве предположим, что квадрат AD есть квадрат единицы, т.е. АВ равна BD и каждая из этих двух сторон равна единице. Далее восставим к плоскости AD в точке В перпендикуляр ВС, как это показал Евклид в XI книге его сочинения61, и сделаем этот перпендикуляр равным данному числу. Дополним тело ABCDEGH62. Известно, что мера этого тела равна данному числу. Далее построим куб, равный этому телу. Однако построение этого куба производится только с помощью свойств [конических] сечений. Поэтому мы отложим это до тех пор, пока не приведем предварительных предложений, относящихся к этим свойствам.
Всякий раз, когда мы будем говорить: число равно телу, мы будем понимать под числом тело с параллельными гранями и прямыми углами, имеющее основанием квадрат единицы и высоту, равную данному числу.
Четвертый вид: квадрат равен пяти своим корням. Здесь число корней есть корень из квадрата. Числовое доказательство состоит в том, что корень, умноженный на самого себя, образует квадрат и что тот же корень, умноженный на пять, равным образом образует квадрат, поэтому он равен пяти. Геометрическое доказательство аналогично: предполагают, что плоская фигура [имеющая форму] квадрата, равна пяти своим сторонам.
Пятый вид: вещи равны кубу. Если эта задача числовая., очевидно, что этот вид равносилен виду: число равно квадрату. Например, в силу указанной выше пропорции [сказать, что] четыре корня равны кубу - все равно, что сказать: число четыре равно квадрату.
В геометрическом доказательстве предположим, что мера куба ABCDE равна четырем его ребрам, и пусть его ребро будет АВ. Тогда его ребро АВ, умноженное на четыре, образует куб ABCDE, и в то же время его ребро, умноженное на свой квадрат, т.е. квадрат АС, образует куб: поэтому квадрат АС равен четырем.
Шестой вид: квадраты равны, кубу. Это то же, что число равно корню.
Числовое доказательство состоит в том, что число относится к корню как квадраты к кубу, как это показано в VIII [книге] "Начал"63.
В геометрическом доказательстве предположим, что куб ABCDE равен числу своих квадратов, например равен двум квадратам. Квадрат его ребра есть АС. Поэтому плоская фигура АС, умноженная на два, образует куб ABCDE, и в то же время умноженная на BD, т.е. на свою сторону, она образует куб ABCDE. Поэтому BD, т.е. ребро куба, равно двум. Это и есть искомое.
Всякий раз, когда мы будем говорить в этом трактате: квадраты куба, мы будем понимать под этим выражением квадраты его ребер.
Изложив простые виды, рассмотрим теперь три первых из двенадцати тройных видов.
Первый вид из них: квадрат и десять корней равны числу тридцать девять. Умножь половину [числа] корней на себя. Прибавь это произведение к числу и вычти из корня из этой суммы половину [числа] корней. Остаток есть корень квадрата64.
Числовая задача нуждается в двух условиях: во-п